【題目】已知橢圓E: ,不經(jīng)過原點O的直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓E相交于不同的兩點A、B,直線OA,AB,OB的斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求a,b,k的關(guān)系式;
(Ⅱ)若離心率 ,當(dāng)m為何值時,橢圓的焦距取得最小值?

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2), 由直線OA,AB,OB的斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列,
,
,可得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,
故△=(2a2km)2﹣4(b2+a2k2)(a2m2﹣a2b2)>0,
即b2﹣m2+a2k2>0,
又x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
,
,
,
又直線不經(jīng)過原點,所以m≠0,
所以b2=a2k2即b=ak;
(Ⅱ)若 ,則 , ,
又k>0,得 ,
則x1+x2=﹣ =﹣ m,x1x2= = m2﹣2c2 ,
|AB|= =
=
化簡得 (△>0恒成立),
當(dāng) 時,焦距最小
【解析】(Ⅰ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì),以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達(dá)定理,化簡整理,即可得到b=ak;(Ⅱ)運用離心率公式,可得斜率k,再由弦長公式,結(jié)合條件,運用基本不等式即可得到所求最值,以及m的取值.

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(備注:函數(shù)y=x+ 在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增).

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