【題目】已知動圓與圓內(nèi)切,與圓外切,記圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程.
(2)直線與曲線交于點,,點為線段的中點,若,求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出|PE|+|PF|=4>|EF|=2,從而圓心P的軌跡C為以E與F為焦點的橢圓,由此能求出曲線C的方程.
(2)設(shè)直線l:x=my+n,由方程組,得(4+m2)y2+2mny+n2﹣4=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式,結(jié)合已知條件能求出直線l的方程.
(1)設(shè)動圓的半徑為,由已知得,,則有,
∴的軌跡是以,為焦點的橢圓,設(shè)曲線的方程為,易知,,則,
∴曲線的方程為.
(2)設(shè)直線,,,
由得①
,,,
由中點坐標(biāo)公式可知.
,
②,
設(shè)直線與軸的交點為,則點的坐標(biāo)為,
則面積的平方,
設(shè),
則,當(dāng),即時,的面積取得最大值.
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【題目】已知圓的圓心在拋物線上,圓過原點且與拋物線的準(zhǔn)線相切.
(1)求該拋物線的方程;
(2)過拋物線焦點的直線交拋物線于, 兩點,分別在點, 處作拋物線的兩條切線交于點,求三角形面積的最小值及此時直線的方程.
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【題目】如圖所示,正方體的棱長為, , 分別是棱, 的中點,過直線, 的平面分別與棱, 交于, ,設(shè), ,給出以下四個命題:
①四邊形為平行四邊形;
②若四邊形面積, ,則有最小值;
③若四棱錐的體積, ,則是常函數(shù);
④若多面體的體積, ,則為單調(diào)函數(shù).
其中假命題為( ).
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求U(A∩B);
(2)若集合C={x|2x+a>0},滿足B∪C=C,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】,為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形的直角邊所在直線與,都垂直,斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:
(1)當(dāng)直線與成角時,與成角;
(2)當(dāng)直線與成角時,與成角;
(3)直線與所成角的最小值為;
(4)直線與所成角的最小值為;
其中正確的是______(填寫所有正確結(jié)論的編號).
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有意義,且對于任意的x,y∈R,有|f(x)-f(y)|<|x-y|并且函數(shù)f(x+1)的對稱中心是(-1,0),若函數(shù)g(x)-f(x)=x,則不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是( ).
A.B.
C.,D.
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【題目】已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別是240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動。
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?
(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F(xiàn),G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作,求事件M“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”發(fā)生的概率。
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【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取次.記錄如下:
甲: , , , , , , ,
乙: , , , , , , ,
()用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù).
()現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.
()若將頻率視為概率,對甲同學(xué)在今后的三次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行預(yù)測,記這次成績中高于分的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+對一切n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
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