Question

2．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a_n≠0，公差d≠0．
（Ⅰ）證明：$\frac{{C}_{2}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{2}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{2dndlxj5^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$
（Ⅱ）根據(jù)下面幾個(gè)等式：$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\fract9rlxnv{{a}_{1}{a}_{2}}$；$\frac{{C}_{2}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{2}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{2xjth5jv^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$；$\frac{{C}_{3}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{3}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{a}_{3}}$-$\frac{{C}_{3}^{3}}{{a}_{4}}$=$\frac{6fp9rh99^{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}}$

；$\frac{{C}_{4}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{4}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{a}_{3}}$-$\frac{{C}_{4}^{3}}{{a}_{4}}$+$\frac{{C}_{4}^{4}}{{a}_{5}}$=$\frac{24tblxjx5^{4}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}{a}_{5}}$，…
試歸納出更一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的和排列組合公式計(jì)算即可證明，
（Ⅱ）猜想結(jié)論：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！t3pd593^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$，并數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）左邊=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{{{a}_{2}（a}_{2}+d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{2（{a}_{2}-d）（{a}_{2}+d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}（{a}_{2}-d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{29xjzlx9^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$=右邊，
故等式成立
（Ⅱ）結(jié)論：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！vf399p3^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$
證：①當(dāng)n=2，3，4時(shí)，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，$\frac{{C}_{K-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k}}$=$\frac{（k-1）！pblxj9n^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}$成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?{C}_{k}^{k-1}={C}_{k-1}^{k-1}+{C}_{k-1}^{k-2}$，所以$\frac{{C}_{k}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+2}{C}_{k}^{k}}{{a}_{k+1}}$
=$\frac{{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}+{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}+{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}（{C}_{k-1}^{k-1}+{C}_{k-1}^{k-2}）}{{a}_{k}}$+$\frac{（-1）^{k+2}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k+1}}$
=（$\frac{{C}_{K-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k}}$）-（$\frac{{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{2}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k+1}}$）
=$\frac{（k-1）！r5nzjzl^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}$-$\frac{（k-1）!vd9dp9v^{k-1}}{{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{k+1}}$=$\frac{（k-1）!j9dtd95^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k+1}}$（a_k+1-a₁）=$\frac{k!3fr5htz^{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k+1}}$
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②知，$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！lpbrd99^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$對(duì)n≥2都成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查了排列組合的問(wèn)題，著重考查歸納與推理證明的能力，屬于中檔題．