【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù){a
n}為單調(diào)遞增數(shù)列,a
1=2,在不等式(n+1)a
n≥na
2n中令n=1即可求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)可用反證法證明:假設數(shù)列{a
n}是公比為q的等比數(shù)列,可得a
n=2q
n-1根據(jù){a
n}為單調(diào)遞增數(shù)列,可求得q>1,由(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立,利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得
≥q
n①,因為q>1,所以?n
∈N
*,使得當n≥n
時,q
n>2,從而
>2,與
≤2矛盾,于是可判斷數(shù)列{a
n}不能為等比數(shù)列;
(Ⅲ)對于
的分子部分,可根據(jù)b
1=c
1=3,結合已知條件,求得b
2,c
2;b
3,c
3通過比較兩者的大小,猜想b
n≤c
n.然后用數(shù)學歸納法予以證明;對于其分母,可結合條件證明a
n<12,從而是問題得到解決.
解答:解:(Ⅰ)∵{a
n}是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴a
2>a
1,a
2>2.
令n=1,2a
1≥a
2,a
2≤4,
∴a
2∈(2,4].(4分)
(Ⅱ)證明:數(shù)列{a
n}不能為等比數(shù)列.
用反證法證明:
假設數(shù)列{a
n}是公比為q的等比數(shù)列,a
1=2>0,a
n=2q
n-1.
因為{a
n}單調(diào)遞增,所以q>1.
因為n∈N
*,(n+1)a
n≥na
2n都成立.
所以n∈N
*,
≥q
n①
因為q>1,所以?n
∈N
*,使得當n≥n
時,q
n>2.
因為
(n∈N
*).
所以?n
∈N
*,當n≥n
時,
,與①矛盾,故假設不成立.(9分)
(Ⅲ)證明:觀察:b
1=c
1=3,
,
,…,猜想:b
n≤c
n.
用數(shù)學歸納法證明:
(1)當n=1時,b
1=3≤c
1=3成立;
(2)假設當n=k時,b
k≤c
k成立;
當n=k+1時,
=
=
=
=c
k+1所以b
k+1≤c
k+1.
根據(jù)(1)(2)可知,對任意n∈N
*,都有b
n≤c
n,即b
n-c
n≤0.
由已知得,
.
所以
.
所以當n≥2時,
≤2c
n-1=
<12.
因為a
2<a
4<12.
所以對任意n∈N
*,
.
對任意n∈N
*,存在m∈N
*,使得n<2
m,
因為數(shù)列{a
n}單調(diào)遞增,
所以
,a
n-12<0.
因為b
n-c
n≤0,
所以
.(14分)
點評:本題考查反證法與放縮法,數(shù)學歸納法及數(shù)列與不等式的綜合,難點在于(Ⅱ)反證法的使用與(Ⅲ)中
需分別從分子與分母兩處著手,用數(shù)學歸納法證明b
n≤c
n,用放縮法證明a
n-12<0,屬于難題.