【題目】 已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸的正半軸上，過點的直線與拋物線相交于，兩點，且滿足

（1）求拋物線的方程；

（2）若是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.

【答案】（1）(2) 8

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后可，代入可求得，得拋物線方程；

（2）設(shè)易知點M，N的橫坐標與P的橫坐標均不相同.不妨設(shè)mn. 寫出直線PM的方程，由直線PM與圓相切得一關(guān)系式，同理PN與圓相切又得一關(guān)系式，兩者比較說明是一個方程的根，由韋達定理得，從而可表示并求出（用表示），而面積為，表示為的函數(shù)，由基本不等式可求得最小值．

（1）由題意，設(shè)拋物線C的方程為，則焦點F的坐標為.

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立方程得，消去得

所以

因為所以故拋物線的方程為.

(2)設(shè)易知點M，N的橫坐標與P的橫坐標均不相同.

不妨設(shè)mn.

易得直線PM的方程為化簡得，

又圓心（0,1）到直線PM的距離為1，所以

所以

不難發(fā)現(xiàn)，故上式可化為

同理可得

所以m，n可以看作是的兩個實數(shù)根，則

所以

因為是拋物線C上的點，所以

則又，所以從而

當且僅當時取得等號，此時

故△PMN面積的最小值為8.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知直線與雙曲線相交于兩點，為坐標原點.

（1）若，求實數(shù)的值；

（2）是否存在實數(shù)，使得兩點關(guān)于對稱?若存在，求的值；若不存在，說明理由.

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（1）求此時該外國船只與島的距離；

（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離島海里的處（在的正南方向），不讓其進入島海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到，速度精確到海里/小時）．

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【題目】已知四邊形為正方形，平面，四邊形與四邊形也都為正方形，連接，點為的中點，有下述四個結(jié)論：

①； 　　　�、�與所成角為；　　　　

③平面； 　　　�、�與平面所成角為．

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）證明：在上有三個零點.

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【題目】某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資額成正比（如圖1），產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)

（注：利潤與投資額的單位均為萬元）

(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤、表示為投資額的函數(shù)；

(2)該團隊已籌集到10 萬元資金，并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問:當產(chǎn)品的投資額為多少萬元時，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利潤為多少?

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【題目】西湖小學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活開設(shè)課后少年宮活動，其中面向二年級的學(xué)生共開設(shè)了三門課外活動課：七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內(nèi)的5位同學(xué)報名參加了少年宮活動，每位同學(xué)只能挑選一門課外活動課，已知每門課都有人選，則奔奔和果果選擇了同一個課外活動課的選課方法種數(shù)為（ ）

A.18B.36C.72D.144

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx+ax2+ax．

（1）若曲線y＝f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y＝4x+1平行，求實數(shù)a的值；

（2）若時，關(guān)于x的方程在（0，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

（1）當時，證明：在上恒成立；

（2）若函數(shù)有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.

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