Question

5．某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表（假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過300）：

空氣質(zhì)量指數(shù)	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]
空氣質(zhì)量等級(jí)	1級(jí)優(yōu)	2級(jí)良	3級(jí)輕度污染	4級(jí)中度污染	5級(jí)重度污染	6級(jí)嚴(yán)重污染

該社團(tuán)將該校區(qū)在2016年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率．
（Ⅰ）請(qǐng)估算2017年（以365天計(jì)算）全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)（未滿一天按一天計(jì)算）；
（Ⅱ）該校2017年6月7、8、9日將作為高考考場(chǎng)，若這三天中某天出現(xiàn)5級(jí)重度污染，需要凈化空氣費(fèi)用10000元，出現(xiàn)6級(jí)嚴(yán)重污染，需要凈化空氣費(fèi)用20000元，記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用直方圖的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）由題可知，X的所有可能取值為：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二項(xiàng)分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直方圖可估算2017年（以365天計(jì)算）全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為：
（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．------------（4分）
（Ⅱ）由題可知，X的所有可能取值為：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，------------（6分）
則：$P（X=0）={（\frac{4}{5}）^3}=\frac{64}{125}$，$P（X=10000）=C_3^1×\frac{1}{10}×{（\frac{4}{5}）^2}=\frac{24}{125}$，$P（X=20000）=C_3^2×{（\frac{1}{10}）^2}×（\frac{4}{5}）+C_3^1×（\frac{1}{10}）×{（\frac{4}{5}）^2}=\frac{108}{500}=\frac{27}{125}$，$P（X=30000）={（\frac{1}{10}）^3}+C_3^1×\frac{1}{10}×C_2^1×\frac{1}{10}×\frac{4}{5}=\frac{49}{1000}$，$P（X=40000）=C_3^2×{（\frac{1}{10}）^2}×\frac{1}{10}+C_3^2×{（\frac{1}{10}）^2}×\frac{4}{5}=\frac{27}{1000}$，$P（X=50000）=C_3^2×{（\frac{1}{10}）^2}×\frac{1}{10}=\frac{3}{1000}$，$P（X=60000）={（\frac{1}{10}）^3}=\frac{1}{1000}$．
∴X的分布列為

X	0	10000	20000	30000	40000	50000	60000
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{24}{125}$	$\frac{27}{125}$	$\frac{49}{1000}$	$\frac{27}{1000}$	$\frac{3}{1000}$	$\frac{1}{1000}$

------------（10分）$EX=0×\frac{64}{125}+10000×\frac{48}{250}+20000×\frac{27}{125}+30000×\frac{49}{1000}+40000×\frac{27}{1000}+50000×\frac{3}{1000}+60000×\frac{1}{1000}$=9000（元）．------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、二項(xiàng)分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．