Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx-\frac{3}{2}$，其中a∈R
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線$y=\frac{1}{2}x$，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，6）上單調(diào)遞減，（6，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），得到關(guān)于a的方程，解出即可；（Ⅱ）根據(jù)f′（6）=0，得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，
由題設(shè)知：$f'（1）=-\frac{3}{4}-a=-2$，
解得：$a=\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）由題設(shè)知，f（x）在x=6處取得極值，
則f'（6）=0，
所以$\frac{1}{4}-\frac{a}{36}-\frac{1}{6}=0$，
解得：a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．