如圖，已知橢圓過點(diǎn)（1，），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn)．

    （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為．

證明：

（ⅱ）問直線上是否存在一點(diǎn)，

使直線的斜率

滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

【答案】

 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及探求解決新問題的能力。

    【解析】（I）解：因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（1，），e=，

    所以，．

    又，

    所以

    故所求橢圓方程為 ．

   （II）（i）設(shè)點(diǎn)P，因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，

所以，又

    所以

 

因此結(jié)論成立

   （ⅱ）解：設(shè)，，，．

   

   

   

    故

   

   

    若，須有=0或=1．

    ① 當(dāng)=0時(shí)，結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論，可得=－2，所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；

    ② 當(dāng)=1時(shí)，結(jié)合（ⅰ）的結(jié)論，可得=3或=－1（此時(shí)=－1，不滿足≠，舍去 ），此時(shí)直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，

    因此 ．

    綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為，（，）。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，已知橢圓過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問直線的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段為直徑且過點(diǎn)的圓的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆四川省高二5月月考考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、．點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；

（ii）問直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆安徽省毫州市高二上學(xué)期質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，已知橢圓過點(diǎn).，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.      證明：

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）文科數(shù)學(xué)全解全析 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓過點(diǎn)（1，），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為.

（ⅰ）證明：

（ⅱ )問直線上是否存在一點(diǎn)，使直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

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