Question

4．已知圓O的半徑為3，圓O的一條弦AB長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為圓上一點(diǎn)，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$的最大值為（　�。�

• A． 16
• B． 20
• C． 24
• D． 18

Answer 1

分析 如圖所示，連接OA，OB．過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C．利用垂徑定理可得AC，可得cos∠OAB．利用向量的三角形法則計(jì)算即可．

解答 解：如圖所示，連接OA，OB．過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C．設(shè)
則AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴cos∠OAB=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{OP}$|cos$＜\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OP}$＞+4×3cos∠OAB≤4×3×1+4×3×$\frac{2}{3}$=20，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{OP}$∥$\overrightarrow{AB}$且同向時(shí)取等號(hào)，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$的最大值為20，
故選：B．，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、垂徑定理、向量共線定理，屬于中檔題．