【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ADC=60°,AD=AC=2,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD且PO=4,M為PD的中點(diǎn).
(1)證明:MO∥平面PAB;
(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出O是BD中點(diǎn),從而OM∥PB,由此能證明OM∥平面PAB.
(2)推導(dǎo)出四邊形ABCD是菱形,以O為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.
(1)證明:∵底面ABCD是平行四邊形,O為AC的中點(diǎn),M為PD的中點(diǎn).
∴O是BD中點(diǎn),∴OM∥PB,
∵OM平面PAB,PB平面PAB,
∴OM∥平面PAB;
(2)解:在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,
∠ADC=60°,AD=AC=2,PO⊥平面ABCD且PO=4,
∴四邊形ABCD是菱形,
以O為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(1,0,0),D(0,,0),P(0,0,4),M(0,,2),
(﹣1,,2),
平面ABCD的法向量(0,0,1),
設(shè)直線AM與平面ABCD所成角為θ,
則sinθ.
∴直線AM與平面ABCD所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),試求:
(1)邊AC所在直線的方程;
(2)BC邊上的中線AD所在直線的方程;
(3)BC邊上的高AE所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】珠海市某學(xué)校的研究性學(xué)習(xí)小組,對晝夜溫差(最高溫度與最低溫度的差)大小與綠豆種子一天內(nèi)出芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了研究,該小組在4月份記錄了1日至6日每天晝夜最高、最低溫度(如圖1),以及浸泡的顆綠豆種子當(dāng)天內(nèi)的出芽數(shù)(如圖2)
已知綠豆種子出芽數(shù)(顆) 和溫差具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求綠豆種子出芽數(shù) (顆)關(guān)于溫差的回歸方程;
(2)假如4月1日至7日的日溫差的平均值為,估計(jì)4月7日浸泡的顆綠豆種子一天內(nèi)的出芽數(shù).
附:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,是棱上動(dòng)點(diǎn),下列說法正確的是( )
A. 對任意動(dòng)點(diǎn),在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線
B. 對任意動(dòng)點(diǎn),在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線
C. 當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中,與平面所成的角變大
D. 當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中,點(diǎn)到平面的距離逐漸變小
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知、,、分別為的外心,重心,.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)是否存在過的直線交曲線于,兩點(diǎn)且滿足,若存在求出的方程,若不存在請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成,其中∠BAC=∠BCD=90°,∠DBC=30°,AB=AC,,將△ABC沿著BC折起,
(1)若,求異面直線AB和CD所成角的余弦值;
(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí),求二面角A﹣BC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】顧客請一位工藝師把、兩件玉石原料各制成一件工藝品,工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù),每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作,兩件工藝品都完成后交付顧客,兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位:工作日)如下:
則最短交貨期為_______個(gè)工作日.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有工人1000名,其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類,B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).
(1)A類工人中和B類工人中各抽查多少工人?
(2)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2.
表一
生產(chǎn)能力分組 | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
人數(shù) | 4 | 8 | 5 | 3 |
表二
生產(chǎn)能力分組 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
人數(shù) | 6 | 36 | 18 |
①先確定再補(bǔ)全下列頻率分布直方圖(用陰影部分表示).
②就生產(chǎn)能力而言,類工人中個(gè)體間的差異程度與類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小?(不用計(jì)算,可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)
③分別估計(jì)類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)和中位數(shù)(求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“”是“直線:與直線:平行”的( )
A. 充分而不必要條件B. 必要而充分不條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
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