Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2（S_n+1）=3a_n（n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，得到a₁=s₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，得到2（S_n+1）=3a_n①，2（S_n-1+1）=3a_n-1②
①-②得：a_n=3a_n-1，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=2×3^n-1；
（2）=n×3^1-n，
∴T_n=1×3⁰+2×3^-1+…+n×3^1-n，①
∴T_n=1×3^-1+2×3^-2+…+n×3^-n，②
①-②可得：T_n=1+3^-1+3^-2+…+3^1-n-n×3^-n，
∴T_n=+×3^1-n-n×3^-n，
∴T_n=+×3^1-n-×n×3^-n．
分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，得到a₁=s₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，得到2（S_n+1）=3a_n，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）=n×3^1-n，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的通項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道利用數(shù)列的遞推式歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式的規(guī)律型的題，考查學(xué)生會(huì)根據(jù)首項(xiàng)和公比求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．