Question

已知函數f（x）=

a

x

+x，g（x）=f（x）+lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，求函數g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a=0時，記h（x）=g（x）-

1

2b

x²-x（b∈R且b≠0），求h（x）在定義域內的極值點；
（Ⅲ）?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜lnx₂-lnx₁成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=2時，求函數的導數，即可求函數g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a=0時，根據函數的導數和極值點的關系，即可求h（x）在定義域內的極值點；
（Ⅲ）根據不等式恒成立，轉化為求函數的最值即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=

2

x

+x，g（x）=

2

x

+x+lnx，（x＞0）
g'（x）=1+

1

x

-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
由g'（x）＞0得，x＞1，此時函數單調遞增，
由g'（x）＜0得，0＜x＜1，此時函數單調遞減，
即函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）當a=0時，記h（x）=g（x）-

1

2b

x²-x=lnx-

1

2b

x²，（x＞0），
h'（x）=

1

x

-

x

b

=

b-x2

bx

，
①當b＜0時，h'（x）＞0，此時函數單調遞增，h（x）在定義域內的無極值點；
②當b＞0時，令h'（x）=0，得x=

b

，
則

x	（0， b ）	b	（ b ，+∞）
h'（x）	+	0	-
h（x）	遞增	極大值	遞減

由表格可知：函數h（x）的極大值點為x=

b

．
（Ⅲ）?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜lnx₂-lnx₁成立，
則等價為

a

x1

+x1-(

a

x2

+x2)＜ln?x2-ln?x1 成立，
即

a

x1

+x1+ln?x1＜

a

x2

+x2+ln?x2，
即g（x）=

a

x

+x+lnx，在x≥1上為增函數，
∴g'（x）=-

a

x2

+1+

1

x

=

x2+x-a

x2

≥0恒成立，
即a≤x²+x在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2，
即實數a的取值范圍a≤2．

點評：本題主要考查函數的單調性和極值的判斷，利用導數和函數單調性和極值之間的關系是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力，綜合性較強，難度較大．