分析 (Ⅰ)由已知列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可得a,b的值,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出MN中點(diǎn)的坐標(biāo),再由斜率關(guān)系得到m與k的關(guān)系,代入判別式大于0求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)依題意知:$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{b-0}{0-1}•\frac{-b-0}{0-1}=-1}\end{array}\right.$,解得:a2=3,b2=1,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$,消y得:(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
∴△=(6mk)2-12(3k2+1)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,
${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}},{x_1}{x_2}=\frac{{3({m^2}-1)}}{{3{k^2}+1}}$,
設(shè)MN中點(diǎn)E(x0,y0),則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}},{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$,
∵D(0,-1),且|DM|=|DN|,∴DE⊥MN,則kDE•k=-1,
∵${k_{DE}}=\frac{{\frac{m}{{3{k^2}+1}}+1}}{{-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}-0}}=\frac{{m+3{k^2}+1}}{-3km}=-\frac{1}{k}$,∴3k2+1=2m,
代入△=12(3k2-m2+1)>0,知m2-2m<0,解得0<m<2.
綜上:符合條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2).
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.
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A. | (1,2) | B. | (0,1) | C. | (-2,-1) | D. | (-1,0) |
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A. | $\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$ | B. | (x-1)2+y2=1 | C. | y=x2 | D. | x2-y2=1 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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