Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為S_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由

a1+a2=5 a3=7

可解得a₁，d，從而可求得a_n；
（2）表示出

1

anan+1

，利用裂項(xiàng)相消法可求得S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由

a1+a2=5 a3=7

，即

2a1+d=5 a1+2d=7

，解得

a1=1 d=3

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2，（n∈N^*）．
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，
∴數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

1

3

(1-

1

4

)+

1

3

(

1

4

-

1

7

)+

1

3

(

1

7

-

1

10

)+…+

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)+

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握．