Question

已知sinθ，cosθ是方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個(gè)根
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）求以tanθ，cotθ為根的一元二次方程．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，建立條件方程，即可求實(shí)數(shù)k的值；
（2）利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出tanθ+cotθ和tanθcotθ的值，即可得到對(duì)應(yīng)的一元二次方程．

解答： 解：（1）∵sinθ，cosθ是方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個(gè)根
∴sinθcosθ=

2k+1

8

，…①
sinθ+cosθ=-

3k

4

…②
②平方得：1+2sinθcosθ=

9

12

k²，把①代入解得：
9k²-8k-20=0，
解得k=2或-

10

9

，
又∵△≥0，得：9k²-16k-8≥0，
檢驗(yàn)得k=2舍去，k=-

10

9

符合；
（2）依題意，得sinθcosθ=-

11

72

…③
sinθ+cosθ=

5

6

…④
則tanθ+cotθ=

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

=

1

sinθcosθ

=-

72

11

，
∴tanθcotθ=1，
∴以tanθ，cotθ為根的一元二次方程為x²-（tanθ+cotθ）x+tanθcotθ=0，
即x²+

72

11

x+1=0，即11x²+72x+11=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．