Question

已知橢圓C1：

x2

8

+

y2

4

=1，F₁，F₂分別為橢圓C₁的左頂點和右頂點．以F₁，F₂為焦點作與橢圓C₁離心率相同的橢圓C₂．
（1）P為橢圓C₁上異于F₁，F₂的任意一點．設直線PF₁的斜率為k₁，直線PF₂的斜率為k₂．求證：k₁•k₂為定值；
（2）若直線PF₁交C₂于A，B兩點，直線PF₂交C₂于C，D兩點，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先求出橢圓C₂的方程，再求出直線PF₁、PF₂的斜率，利用P為橢圓C1：

x2

8

+

y2

4

=1上的點，化簡即可得出結論．
（Ⅱ）直線PF₁的方程是y=k₁（x+2

2

），代入橢圓方程并整理，利用韋達定理求得弦長，化簡，即可得到結論．

解答： （1）證明：橢圓C1：

x2

8

+

y2

4

=1的左、右頂點為（±2

2

，0），離心率為

2

2

，
橢圓C₂中c=2

2

，離心率

c

a

=

2

2

，∴a=4，∴b=2

2

，
∴橢圓C₂的方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
設P（x₀，y₀），則

x02

8

+

y02

4

=1，
∴x02-8=-2y02．
∴k₁•k₂=

y0

x0+2 2

•

y0

x0-2 2

=

y02

x02-8

=-

1

2

；
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PF₁的方程是y=k₁（x+2

2

），
代入橢圓方程并整理得（1+2k₁²）x²+8

2

k₁²x+16k₁²-16=0．
∴x₁+x₂=-

8 2 k12

1+2k12

，x₁x₂=

16k12-16

1+2k12

∴|AB|=

1+k12

•|x₁-x₂|=8-

8k12

1+2k12

①，
同理可得|CD|=8-

2

2

•

8 2 k22

1+2k22

②
∵k₁•k₂=-

1

2

，
∴|CD|=8-

4

1+2k12

③，
由①③可得|AB|+|CD|=8+8-4=12．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．