Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐中,底面,四邊形中, ,, ,,E為中點.
（1）求證：CD⊥面PAC；（2）求:異面直線BE與AC所成角的余弦值；

Answer 1

（1）見解析 （2） 90°

試題分析：（1）（6分）   
∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD      ∴PA⊥CD       2分
∵,，且 AB=BC=2
∴∠ABC=90°，AC=2，∠CAD=45°
∵AD=4         ∴CD=2
∵CD²+AC²=AD²          ∴AC⊥CD                4分
∵AC∩PA=A             ∴CD⊥面PAC         6分
（2）（6分）解：
方法一：以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0,0,0），B（2,0，0），C（2,2,0），P（0,0,2）          2分
∵E是PC中點
∴E（1,1,1）           
                  4分
∵
∴BE⊥AC       ∴BE與AC所成的角為90°    6分
方法二：作AC中點O，連結(jié)EO
∵E、O分別是PC、AC中點
∴EO//PA
∵PA⊥面ABCD       ∴EO⊥面ABCD
∴EO⊥AC
可證得ABCG是正方形    ∴AC⊥BO
∵BO∩EO=O         ∴AC⊥面BEO
∴AC⊥BE       ∴BE與AC所成的角為90°
方法三：作PD中點F，AD中點G
∵AD2BC，AG=GD   
∴四邊形ABCG是正方形，且BG//CD  ∴BO
∵EF是△PCD的中位線   ∴EF
∴EFBO       ∴BEFO
∴BE與AC所成的角等于OF與AC所成的角
PB=2，BC=2，PC=        ∴PB⊥BC
∵E是PC中點       ∴BE=
PD=    ∴AF=
∵AO=，OF=BE=，AF=  ∴∠AOF=90° 即BE與AC所成的角為90°
點評：立體幾何的求解有兩大思路。其一：幾何法，依據(jù)線面的位置關(guān)系，長度關(guān)系推理計算：其二，代數(shù)法，利用空間坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算