Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線l．
（1）求a、b的值，并寫出切線l的方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合f（2）=g（2）=0，f′（2）=g'（2）=1聯(lián)立方程組求解a，b的值，由直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入f（x）的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，并由此求得極值點(diǎn)，得到函數(shù)的極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，
∴f'（x）=3x²+4ax+b，g'（x）=2x-3，
由于曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線，
故有f（2）=g（2）=0，f′（2）=g'（2）=1．
由此得

8+8a+2b+a=0 12+8a+b=1

，
解得：

a=-2 b=5

．
∴a=-2，b=5，
∴切線l的方程為x-y-2=0；
（2）∵a=-2，b=5，
∴f（x）=x³-4x²+5x-2，
f'（x）=3x²-8x+5=（x-1）（3x-5），
當(dāng)x∈（-∞，1），（

5

3

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，

5

3

）時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（

5

3

，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（1，

5

3

）．
極大值為f（1）=0，極小值為f(

5

3

)=-

104

27

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，是中檔題．