14．已知：指數(shù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x-1）＜1，求x的取值范圍．

分析 （1）設(shè)f（x）=ax，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解指數(shù)不等式即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax，
∵f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4）．
∴f（2）=a2=4，則a=2，
即f（x）=2x．
（2）若f（x-1）＜1，則2x-1＜1，即x-1＜0，
得x＜1，即不等式的解集為（-∞，1）．

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)解析式和單調(diào)性的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx（p是實數(shù)）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則p的取值范圍為[1，+∞）．

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5．設(shè)f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且a≤f（x）≤b，試問：在[a，b]中是否存在常數(shù)c，使得f（c）=c．

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2．已知曲線C在直角坐標(biāo)系xOy下的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=3$\sqrt{3}$，射線OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與曲線C交于A點，與直線l交于B，求線段AB的長．

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9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x≤1\\{x^2}-6x+7，x＞1\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若函數(shù)y=|f（x）|-ax有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．

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19．已知α，β為銳角，cos（${\frac{π}{2}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（${\frac{3π}{2}$+β）=-$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

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6．已知f（α）=$\frac{{sin（\frac{π}{2}-α）cos（10π-α）tan（-α+3π）}}{{tan（π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}}$．
（1）化簡f（α）；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值；
（3）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，求f（α）的值．

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3．知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+ax為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式f（2x-1）＜f（x+1）．

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20．已知函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a，b的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{n}（n≥2，n∈N）$．

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