Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x²+x+（1-a）（

1

2

x²-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極小值點，求實數a的取值范圍及函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≥1時，求函數f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用x=1是f（x）的極小值點，建立條件關系，求實數a的取值范圍及函數f（x）的極值；
（Ⅱ）利用導數研究函數的極值和端點值f（0），f（2）的大小，進而求函數的最大值．

解答：解：f'（x）=x²-2x+1+（1-a）（x-1）=（x-1）²+（1-a）（x-1）=（x-1）（x-a），
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極小值，則a＜1，列表分析如下：

x	（-∞，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f極大值(a)=- 1 6 a3+ 1 2 a2	↘	f極小值（1）= 1 2 a- 1 6 ．	↗

∴f極大值(a)=-

1

6

a3+

1

2

a2，f_極小值（1）=

1

2

a-

1

6

．
（Ⅱ）當a=1時，函數f（x）在[0，2]上單調遞增，最大值為f（2）=

2

3

；
當a＞1時，
（1）若a≥2，f（x）[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減．y_max=f（1）=

1

2

a-

1

6

．
（2）若1＜a＜2，f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增．
最大值可能為f（1）=

1

2

a-

1

6

．f（2）=

2

3

；
1）1≤a＜

5

3

時，最大值為f（2）=

2

3

；
2）

5

3

≤a＜2時，最大值為f（1）=

1

2

a-

1

6

．
綜上所述：1≤a＜

5

3

時，最大值為f（2）=

2

3

；當

5

3

≤a＜2時時，最大值為f（1）=

1

2

a-

1

6

．

點評：本題主要考查函數的單調性，極值和最值與導數之間的關系，考查學生的運算能力，綜合性較強．