已知數(shù)列{an}中,a2=a+2(a為常數(shù)),Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且Sn是nan與na的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為-
23
的等比數(shù)列,Tn是{bn}的前n項(xiàng)和,問是否存在常數(shù)a,使a10•Tn<12恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)由Sn是nan與na的等差中項(xiàng),我們易得2Sn=nan+na,進(jìn)一步得到2Sn-1=nan-1+(n-1)a,由于關(guān)系式中即有Sn又有an故可根據(jù)an=Sn-Sn-1,將上述公式相減得到數(shù)列的遞推公式,進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)根據(jù)已知條件,不難寫出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式Tn,結(jié)合(1)的結(jié)論,可構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a 的不等式,解不等式,可得滿足條件的a的取值范圍.
解答:解:(1)由已知得:2Sn=nan+na,
所以當(dāng)n≥2時(shí)2Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)a.
兩式相減得:2an=nan-(n-1)an-1+a,
整理得:(n-1)an-1=(n-2)an+a.
當(dāng)n≥3時(shí),上式可化為:
an-1
n-2
-
an
n-1
=
a
(n-2)(n-1)
=a(
1
n-2
-
1
n-1
)
,
于是:(
an-1
n-2
-
an
n-1
)+(
an-2
n-3
-
an-1
n-2
)++(a2-
a3
2
)=a[(
1
n-2
-
1
n-1
)+(
1
n-3
-
1
n-2
)++(1-
1
2
)]
?a2-
an
n-1
=a(1-
1
n-1
)?an=2n+a-2

又,2a1=a1+a?a1=a,a2=a+2均滿足上式,
故an=2n+a-2(n∈N*
(2)因?yàn)?span id="btwwjo1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">b1=1,q=-
2
3
,
所以Tn=
1-(-
2
3
)
n
1-(-
2
3
)
=
3
5
[1-(-
2
3
)n]

又a10=a+18,所以a10•Tn<12
可化為
3
5
(a+18)[1-(-
2
3
)n]<12
,
整理得:a<
20
1-(-
2
3
)
n
-18

f(n)=1-(-
2
3
)n
,
則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),1<f(n)≤
5
3

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
5
9
≤f(n)<1

所以,fmax=f(1)=
5
3
,
a<
20
5
3
-18=-6

故存在常數(shù)a,使a10•Tn<12恒成立,
其范圍是(-∞,-6).
點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)列的綜合應(yīng)用問題,考查的知識(shí)點(diǎn)多而且均為難點(diǎn),對(duì)于此類型的問題處理方法為:1.審題--弄清題意,分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容,在每個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中,各是什么問題.2.分解--把整個(gè)大題分解成幾個(gè)小題或幾個(gè)“步驟”,每個(gè)小題或每個(gè)小“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等.3.求解--分別求解這些小題或這些小“步驟”,從而得到整個(gè)問題的解答
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已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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