Question

18．已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB=2AC，若四面體P一ABC的體積為$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，則該球的表面積為9π．

Answer 1

分析 如圖所示，球心O在AB上，可得∠BCA=90°．設(shè)AC=x，可得AB=2x，BC=$\sqrt{3}$x．由PO⊥平面ABC，可得PO=OA=x為高．利用三棱錐的體積計(jì)算公式、球的表面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵球心O在AB上，∴∠BCA=90°．
設(shè)AC=x，∵AB=2AC，∴AB=2x．
∴BC=$\sqrt{3}$x．
∵PO⊥平面ABC，∴PO=OA=x為高．
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×PO=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}{x}^{2}$×x=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，解得x=$\frac{3}{2}$=r，
∴該球的表面積S=4$π×（\frac{3}{2}）^{2}$=9π．
故答案為：9π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、線面垂直的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．