Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓P： （a＞b＞0）的右焦點，已知A（0，﹣2）與橢圓左頂點關于直線y=x對稱，且直線AF的斜率為 ，
（1）求橢圓P的方程；
（2）過點Q（﹣1，0）的直線l交橢圓P于M、N兩點，交直線x=﹣4于點E， = ， = ，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的右焦點為F（c，0），左頂點為（﹣a，0），

由點A（0，﹣2）與橢圓左頂點關于直線y=x對稱，可得﹣ =﹣1，解得a=2，

由直線AF的斜率為 ，可得 = ，可得c= ，

即有b= =1，

則橢圓的方程為 +y2=1；

（2）解：依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x+1），

設M（x1，y1）、N（x2，y2）、E（﹣4，y3），

則M、N兩點坐標滿足方程組 ，

消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ①，x1x2= ②，

∵ = ，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），

∴﹣1﹣x1=λ（x2+1），

∴λ= ，

令x=﹣4，可得y3=﹣3k，

由 = ，即（﹣4﹣x1，﹣3k﹣y1）=μ（x2+4，y2+3k），

可得μ= ．

∴λ+μ= + = ，

將①②代入上式可得λ+μ=0．

故λ+μ為定值0．

【解析】（1）由對稱和直線的斜率公式，推導出a=2，c= ，由此能求出橢圓的方程；（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x+1）．設M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2）、E（﹣4，y3），則M、N兩點坐標方程組 ，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，然后利用根與系數(shù)的關系以及向量的共線的坐標表示，化簡整理進行求解可得．