【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N為AD的中點．

（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（2）點M在線段PC上且滿足，直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求實數(shù)的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

以為空間坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.

（2）由求得，結(jié)合平面的法向量，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值.

（1）因為平面，平面，所以，又因為，所以兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，為的中點，得，.所以，設(shè)異面直線與所稱的角的大小為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.

（2）設(shè)平面的法向量，因為，由得，取，得，所以.

因為，所以，所以.依題意，化簡得，解得或，由于在線段上，所以.

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【題目】設(shè)定點，常數(shù)，動點，設(shè)，，且．

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設(shè)直線：與點的軌跡交于，兩點，問是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需要看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書者進(jìn)行調(diào)查. 將他們的年齡分成6段：

，

后得到如圖所示的頻率分布直方圖，問：

（1）在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；

（2）估計40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù).

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【題目】一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期（公元世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即，一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為，當(dāng)時，符合條件的共有（ ）

A. 個B. 個C. 個D. 個

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【題目】四棱錐中，底面是菱形，.

（1）求證：；

（2）若是的中點，求點到平面的距離.

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【題目】函數(shù)，其中常數(shù).

（1）求的最小值；

（2）若，討論的零點的個數(shù).

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【題目】設(shè)函數(shù) ，，已知有三個互不相等的零點，且.

（Ⅰ）若.(ⅰ)討論的單調(diào)區(qū)間；(ⅱ)對任意的，都有成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）若且，設(shè)函數(shù)在，處的切線分別為直線，，是直線，的交點，求的取值范圍.

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【題目】根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：某企業(yè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品（數(shù)量很大）中抽取100件，測量這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間，，內(nèi)的頻率之比為.

（1）求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）若取這100件產(chǎn)品指標(biāo)的平均值，從這種產(chǎn)品（數(shù)量很大）中任取3個，求至少有1個落在區(qū)間的概率.

參考數(shù)據(jù)：，若，則；；.

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