(2013•內(nèi)江二模)在實數(shù)集R中定義一種運算“⊕”,對任意a,b⊕b為唯一確定的實數(shù)且具有性質(zhì):
(1)對任意a,b∈R,有a⊕b=b⊕a;
(2)對任意a∈R,有a⊕0=a;
(3)對任意a,b,c∈R,有(a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(c⊕b)-2c.
已知函數(shù)f(x)=x⊕
1x
,則下列命題中:
(1)函數(shù)f(x)的最小值為3;
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)、(1,+∞).
其中正確例題的序號有
(3)
(3)
分析:對于新定義的運算問題常常通過賦值法得到一般性的結(jié)論,對f(x)的解析式進行化簡,利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性和最值,再利用函數(shù)奇偶性的定義分析出函數(shù)的奇偶性,可得答案.
解答:解:由新運算“⊕”的定義(3)令c=0,則a⊕b=ab+a+b
f(x)=x⊕
1
x
=1+x+
1
x
,
∴f′(x)=1-
1
x2
,令f′(x)=0
則x=±1,
∵當x∈(-∞,-1)或(1,+∞)時,f′(x)>0
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)、(1,+∞).故(3)正確;
根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得
在區(qū)間(-∞,-1)上,函數(shù)圖象向下,向上無限延長
故函數(shù)f(x)無最小值,故(1)錯誤;
又∵f(-x)=1-x-
1
x
,與f(x)不相反,故函數(shù)f(x)不是奇函數(shù),故(2)錯誤
故正確的序號有(3)
故答案為:(3)
點評:本題是一個新定義運算型問題,考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學(xué)們類比運算解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•內(nèi)江二模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率e=
2
3
3
,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為
3
2

(1)求雙曲線的方程;
(2)直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點C、D,且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上,求m的取值范圍.

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(Ⅱ)若AF=AB,求二面角B-EF-D的余弦值.

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(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函數(shù)f(x)在點x=1處的導(dǎo)數(shù).

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(2013•內(nèi)江二模)設(shè)集合A={x|x2+3x<0},B={x|y=
-x-1
},則A∩B=( 。

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