Question

6．若實(shí)數(shù)m的取值使函數(shù)f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則叫做函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”，已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，且f′（x）=$\frac{m}{x}$-2lnx，當(dāng)函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”時(shí)，m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{2}{e}$，+∞）
• B． （-$\frac{2}{e}$，0）
• C． （-∞，-$\frac{2}{e}$）
• D． （-$\frac{2}{e}$，-$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m=2xlnx在（0，+∞）有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令g（x）=2xlnx，g′（x）=2（1+lnx），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的范圍，從而求出m的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$-2lnx=$\frac{m-2xlnx}{x}$，（x＞0），
若函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”時(shí)，
則m=2xlnx在（0，+∞）有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令g（x）=2xlnx，g′（x）=2（1+lnx），
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
故g（x）的最小值是g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，x→0時(shí)，g（x）→0，
故-$\frac{2}{e}$＜m＜0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．