Question

已知向量

m

=（a+b，c）與

n

=（cosA+cosB，cosC）共線，其中a、b、c為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面積為

3

，求|m|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理、正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理即可得出；
（2）由

1

2

absin

π

3

=

3

，可得ab=4．由余弦定理可得：c²=a²+b²-ab，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得|

m

|=

(a+b)2+c2

=

2a2+2b2+ab

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（a+b，c）與

n

=（cosA+cosB，cosC）共線，
∴c（cosA+cosB）=（a+b）cosC，
由正弦定理可得：sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，∴sin（A-C）=sin（C-B），
∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，∴A-C=C-B，化為A+B=2C，∵A+B+C=π，∴C=

π

3

．
（2）∵

1

2

absin

π

3

=

3

，∴ab=4．由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos

π

2

=a²+b²-ab，
∴|

m

|=

(a+b)2+c2

=

2a2+2b2+ab

≥

5ab

=

20

=2

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．
∴|

m

|的最小值為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．