【題目】如圖所示,在幾何體中,是等邊三角形,平面,,且.
(I)試在線段上確定點的位置,使平面,并證明;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(I)見解析;(II)
【解析】
(I)取為的中點,連接EM,取中點,連接,,證明四邊形為平行四邊形,得再證明平面即可證明平面,則M為所求;(II)以為原點,以,,所在的直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,求平面和平面的法向量,利用二面角的向量公式求解即可
(I)當點為的中點時,平面.證明如下:取中點,連接,,
且,又,,
且,四邊形為平行四邊形,.
又平面,,平面,又CD面BCD,平面平面,是等邊三角形,,
又平面平面,平面,平面.
(II)由(I)FA,FB,FM兩兩互相垂直,以為原點,以,,所在的直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),則,,,,
,.設(shè)平面的法向量為,
則,即,解得,
令,則,,由(I)知,平面的一個法向量為,
,二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,在三棱錐中,與都為等邊三角形,且側(cè)面與底面互相垂直,為的中點,點在線段上,且,為棱上一點.
(1)試確定點的位置,使得平面;
(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.
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【題目】在平面四邊形中(圖1),為的中點,,且,現(xiàn)將此平面四邊形沿折起,使得二面角為直二面角,得到一個多面體,為平面內(nèi)一點,且為正方形(圖2),分別為的中點.
(1)求證:平面//平面;
(2)在線段上是否存在一點,使得平面與平面所成二面角的余弦值為?若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高.該原理的意思是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被任一平行于這兩個平行平面的平面所截,若所截的兩個截面的面積恒相等,則這兩個幾何體的體積相等.如圖,在空間直角坐標系中的平面內(nèi),若函數(shù)的圖象與軸圍成一個封閉的區(qū)域,將區(qū)域沿軸的正方向平移8個單位長度,得到幾何體如圖一,現(xiàn)有一個與之等高的圓柱如圖二,其底面積與區(qū)域的面積相等,則此圓柱的體積為__________.
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高.該原理的意思是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被任一平行于這兩個平行平面的平面所截,若所截的兩個截面的面積恒相等,則這兩個幾何體的體積相等.如圖,在空間直角坐標系中的平面內(nèi),若函數(shù)的圖象與軸圍成一個封閉的區(qū)域,將區(qū)域沿軸的正方向平移8個單位長度,得到幾何體如圖一,現(xiàn)有一個與之等高的圓柱如圖二,其底面積與區(qū)域的面積相等,則此圓柱的體積為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,點是中點,且,現(xiàn)將三角形沿折起,使點到達點的位置,且與平面所成的角為.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知圓,直線,若直線上存在點,過點引圓的兩條切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. [,]
C. D. )
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【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于,兩點,且線段的中點為,橢圓的上頂點為.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點,若直線與的斜率之和為2,證明:過定點.
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