【題目】已知O為坐標原點,設(shè)動點M(2,t)(t>0).
(1)若過點P(0,4 )的直線l與圓C:x2+y2﹣8x=0相切,求直線l的方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)A(1,0),過點A作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值.
【答案】
(1)解:圓C:x2+y2﹣8x=0化為(x﹣4)2+y2=16,得到圓心C(4,0),半徑r=4.
斜率不存在時,x=0滿足題意;
斜率存在時,設(shè)切線方程為y=kx+4 ,即kx﹣y+4 =0,
根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得4= ,解得k=﹣ ,
故切線方程為y=﹣ x+4 ,
綜上所述,直線l的方程為y=﹣ x+4 或x=0
(2)解:以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x﹣1)2+(y﹣ )= +1,
其圓心為(1, ),半徑r=
因為以O(shè)M為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x﹣4y﹣5=0的距離d= = ,解得t=4
所求圓的方程為(x﹣1)2+(y﹣2)2=5
(3)證明:設(shè)N(x0,y0),則 =(x0﹣1,y0), =(2,t), =(x0﹣2,y0﹣t), =(x0,y0),
∵ ⊥ ,∴2(x0﹣1)+ty0=0,∴2x0+ty0=2,
又∵ ⊥ ,∴x0(x0﹣2)+y0(y0﹣t)=0,
∴x02+y02=2x0+ty0=2,
所以| |= = 為定值
【解析】(1)圓C:x2+y2﹣8x=0化為(x﹣4)2+y2=16,得到圓心C(4,0),半徑r=4,分類討論即可求直線l的方程;(2)設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程,變?yōu)闃藴史匠毯笳页鰣A心坐標和圓的半徑,由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長,過圓心作弦的垂線,根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點,由弦的一半,半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形,利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x﹣4y﹣5=0的距離d,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,即可確定出所求圓的方程;(3)設(shè)出點N的坐標,由 ⊥ 得到兩向量的數(shù)量積為0,利用平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出一個關(guān)系式,又 ⊥ ,同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則得到另一個關(guān)系式,把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長,從而得到線段ON的長為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若存在實數(shù)x1 , x2 , x3 , x4 , 當x1<x2<x3<x4時滿足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),則x1x2x3x4的取值范圍是( )
A.(7, )
B.(21, )
C.[27,30)
D.(27, )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)﹣b(ω>0,0<φ<π)的圖象兩對稱軸之間的距離是 ,若將f(x)的圖象先向由平移 個單位,再向上平移 個單位,所得函數(shù)g(x)為奇函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,點M,N分別為線段A1B,AC1的中點.
(1)求證:MN∥平面BB1C1C;
(2)若D在邊BC上,AD⊥DC1 , 求證:MN⊥AD.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)設(shè),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),對于任意正實數(shù)m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且當x>1時,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求 的值;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)求方程4sinx=f(x)的根的個數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖△ABC中,AC=BC= AB,四邊形ABED是邊長為a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G、F分別是EC、BD的中點.
(1)求證:GF∥平面ABC;
(2)求證:平面EBC⊥平面ACD;
(3)求幾何體ADEBC的體積V.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為a的正方形,PB⊥平面ABCD,M、N分別是AB、PC的中點.
(1)求證:MN∥平面PAB;
(2)若平面PDA與平面ABCD成60°的二面角,求該四棱錐的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,射線交橢圓于點,交直線于點.
(1)求的最小值;
(2)若,求證:直線過定點.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com