Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線及圓交于、、、四點(diǎn)，試證明為定值.

（Ⅲ）過、分別作拋物的切線、，且、交于點(diǎn)，求與面積之和的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)已知條件得出的值，可得出拋物線的方程；

（Ⅱ）解法一：求出拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用拋物線的定義并結(jié)合韋達(dá)定理證明出是定值；

解法二：設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，并利用弦長公式并結(jié)合韋達(dá)定理證明是定值；

（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求出切線、的方程，并將兩切線方程聯(lián)立得出交點(diǎn)的坐標(biāo)，并計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，可計(jì)算出和的面積和，換元，利用導(dǎo)數(shù)法求出和的面積和的最小值.

（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，由題意得，得，

所以拋物線的方程為；

（Ⅱ） 解法一：拋物線的焦點(diǎn)與的圓心重合，即為.

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去并整理得，

，由韋達(dá)定理得，.

由拋物線的定義可知，，，.

，即為定值；

解法二：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，

不妨設(shè)，.

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去并整理得，

，由韋達(dá)定理得，.

，，

，

即為定值；

（Ⅲ），，

所以切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為，

聯(lián)立兩切線方程，解得，即點(diǎn)，

所以點(diǎn)到直線的距離為．

設(shè)

，

令，則，，

所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，即和面積之和的最小值為.