Question

【題目】已知f（x）=e ﹣ ，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），判斷g（x）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4無零點，試確定正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=e ﹣ ，

∴f′（x）= ﹣ ，

∴g（x）=（x+1）（ ﹣ ），

∴g′（x）= [（x+3） ﹣1]，

當(dāng)x＞﹣1時，g′（x）＞0，

∴g（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F(xiàn)′（x）= （ ﹣g（x）），

由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，且g（﹣1）=0 可知當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時，g（x）∈（0，+∞），

則F′（x）= （ ﹣g（x））有唯一零點，

設(shè)此零點為x=t，易知x∈（﹣1，t）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；

x∈（t，+∞）時，F(xiàn)′（t）＜0．F（x）單調(diào)遞減．

知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，

其中a= ，

令G（x）=ln（x+1）﹣ +4，

則G′（x）= ，

易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，

∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，且G（0）=0，

①當(dāng)0＜a＜4時，g（t）= ＞ =g（0），

由g（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，知t＞0，則F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，

由F（x）在（﹣1，t）上單調(diào)遞增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，

則F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，

∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0

∴F（x）在（﹣1，t）上有零點，與條件不符；

②當(dāng)a=4時，g（t）= = =g（0），由g（x）的單調(diào)性可知t=0，

則F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此時F（x）有一個零點，與條件不符；

③當(dāng)a＞4時，g（t）= ＜ =g（0），由g（x）的單調(diào)性知t＜0，

則F（x）max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此時F（x）沒有零點．

綜上所述，當(dāng)F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4無零點時，正數(shù)a的取值范圍是a∈（4，+∞）

【解析】（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)后知g（x），對g（x）求導(dǎo)后得到單調(diào)性．（2）利用導(dǎo)函數(shù)求得F（x）的單調(diào)性及最值，然后對a分情況討論，利用F（x）無零點分別求得a的取值范圍，再取并集即可．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．