Question

18．已知f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a（x∈R）．
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，恒有|f（x）|≤2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）=0在[0，$\frac{3π}{4}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的取值范圍，討論a的取值，從而求出使|f（x）|≤2的a的取值范圍；
（2）x∈[0，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的取值，由f（x）=0得出$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）=a-1，討論a的取值，求出使f（x）=0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)的a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]；
∴a=0時(shí)，f（x）=1，滿足題意；
a＞0時(shí)，有a+1-a≤f（x）≤$\sqrt{2}$a+1-a，
即$\sqrt{2}$a+1-a≤2，
解得0＜a≤$\sqrt{2}$+1；
當(dāng)a＜0時(shí)，$\sqrt{2}$a+1-a≤f（x）≤a+1-a，
即$\sqrt{2}$a+1-a≥-2，
解得0＞a≥-3$\sqrt{2}$-3；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3$\sqrt{2}$-3，$\sqrt{2}$+1]；
（2）x∈[0，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]；
當(dāng)f（x）=0時(shí)，$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a=0，
即$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）=a-1；
所以a=0，有0=-1，不成立；
a＞0時(shí)，有a≤a-1＜$\sqrt{2}$a，a不存在；
a＜0時(shí)，有$\sqrt{2}$a＜a-1≤a，解得a＜-$\sqrt{2}$-1；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．