分析 (1)通過(guò)變形可知數(shù)列{an}為正項(xiàng)遞增數(shù)列,通過(guò)放縮、變形可知1an-1an+1≤1n-1n+1,進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論;
(2)通過(guò)放縮、變形可知1an-1an+1≥11+an,進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論.
解答 證明:(1)易知an>0,
∵an+1−an=1n(n+1)a2n≥0,
∴an+1=1n(n+1)a2n+an≤1n(n+1)anan+1+an,
∴1an-1an+1≤1n(n+1)=1n-1n+1,
累加,得:1a1-1an≤1-1n(n≥2),
又∵a1<1滿足上式,
∴∴an<1;
(2)易知an>0,
∵an+1=nan+an,
∴1an+1=1an-1an+1n,
∴1an-1an+1=1an+1n≥11+an,
累加,得:1a1+1+1a2+1+…+1an+1<1a1-1an+1<1a1=2.
點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題,涉及累加法,對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | 1±√52 | B. | √5±12 | C. | 1+√52 | D. | √5−12 |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{6} | B. | \frac{π}{3} | C. | \frac{2π}{3} | D. | \frac{5π}{6} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
甲班 | 乙班 | 總計(jì) | |
成績(jī)優(yōu)良 | |||
成績(jī)不優(yōu)良 | |||
總計(jì) |
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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