Question

【題目】【2018貴州遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點(diǎn)為，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為；自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)．

（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)橢圓的方程為；拋物線的方程是： ．(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及離心率可得關(guān)于的方程組，求得可得橢圓的方程；根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而可得拋物線方程．(Ⅱ)設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消元后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式可得，再根據(jù)的范圍，利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求得的范圍即可．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意得，解得，

∴橢圓的方程為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,

∴,

∴拋物線的方程是.

（Ⅱ）由題意得直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由消去x整理得（*）

∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)， ，

則①，②．

∵， ,

∴

∴．③

由①②③消去得： ．

∴

，即，

將代入上式得

，

∵單調(diào)遞減，

∴，即，

∴，

∴，

即的求值范圍為．