Question

20．直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數）被曲線ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）所截的弦長為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t化為普通方程．曲線ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐標方程．求出圓心到直線的距離，可得直線被曲線C所截的弦長．

解答 解：直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數），消去參數化為：3x-4y-7=0．
曲線ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）即ρ²=ρcosθ-ρsinθ，化為直角坐標方程：x²+y²=x-y，
配方為：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，可得圓心C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{3}{2}+2-7|}{5}$=$\frac{7}{10}$，可得直線被曲線C所截的弦長為=2$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{49}{100}}$=$\frac{1}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．