Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1在區(qū)間（0，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{11}{8}$，2）．

Answer 1

分析 對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f（x）的單調(diào)性，利用零點(diǎn)的存在性定理及函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，即可解出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²+1，
令f（x）=0得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴f（x）在（0，2]上只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，令f′（x）=3ax²-6x=0得x=0或x=$\frac{2}{a}$．
（i）若a＞0，則f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{2}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x）在區(qū)間（0，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且f（0）=1＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{2}{a}）＜0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{4}{{a}^{2}}＜0}\\{8a-11≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{11}{8}≤a＜2$．
（ii）若a＜0，則f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，∴f（x）在（0，2]上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，a的取值范圍是[$\frac{11}{8}$，2）．
故答案為：[$\frac{11}{8}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，屬于中檔題．