如圖,O是△ABC外任一點(diǎn),若
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)
,求證:G是△ABC重心(即三條邊上中線的交點(diǎn)).
精英家教網(wǎng)
分析:由題意O是△ABC外任一點(diǎn),由
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)
,利用向量的減法可以等價(jià)于:
GA
+
GB
+
GC
=
0
,再有等價(jià)條件,利用向量的平行四邊形法則及平面圖形知識(shí)即可求證.
解答:精英家教網(wǎng)證明:由
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)
?3
OG
=
OA
+
OB
 +
OC
?(
OG
-
OA
)+(
OG
-
OB
)+(
OG
-
OC
)=
0
?
AG
+
BG
+
CG
=
0
?
GA
+
GB
+
GC
=
0
,
由題意畫(huà)出簡(jiǎn)圖為:
由于
GA
+
GB
+
GC
=
0
?
GA
+
GB
=
CG
,
在圖形中,利用平行四邊行法則及兩向量的加法原理可知:
GA
+
GB
就是以GA,GB為兩相鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線GD,
由于四邊形GADB為平行四邊形,所以GD平分AB,即:
GD
=
GA
+
GB
,所以
GD
=
CG
,∴|
GD
|=|
GC|

又GD,AB平分,所以點(diǎn)G在三角形ABC的邊AB的中線上,
同理點(diǎn)G應(yīng)該在BC邊的中線上,利用重心的定義可知G是△ABC重心(即三條邊上中線的交點(diǎn)).
點(diǎn)評(píng):此題考查了三角形重心的定義,向量的加法,減法及平行四邊行法則.
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(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)已知PA=
3
,BC=1,求⊙O的半徑.

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sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA

(1)證明:b+c=2a;
(2)如圖,點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn),設(shè)∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,當(dāng)b=c時(shí),求平面四邊形OACB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,O是△ABC外任一點(diǎn),若數(shù)學(xué)公式,求證:G是△ABC重心(即三條邊上中線的交點(diǎn)).

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如圖,O是△ABC外任一點(diǎn),若,求證:G是△ABC重心(即三條邊上中線的交點(diǎn)).

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