精英家教網(wǎng)如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn).
(I)求三棱錐D1-ACE的體積;
(II)求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A-D1E-C的正弦值.
分析:(I)利用VD1-ACE=VA-D1CE,求出底面D1CE的面積,然后求三棱錐D1-ACE的體積;
(II)取DD1的中點(diǎn)F,連接FC,說(shuō)明∠FCA即為異面直線D1E與AC所成角或其補(bǔ)角,解三角形CEF,求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;
(III)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥D1E于點(diǎn)G,連接AG,說(shuō)明∠AGD為二面角A-D1E-C的平面角,解△AGD,求二面角A-D1E-C的正弦值.
解答:解:(I)VD1-ACE=VA-D1CE=
1
3
×
1
2
×2×3×3=
16
3

(II)取DD1的中點(diǎn)F,連接FC,
精英家教網(wǎng)
則D1E∥FC,
∴∠FCA即為異面直線D1E與AC
所成角或其補(bǔ)角.
在△FCA中,AC=4
2
,
AF=FC=2
5

cos∠FCA=
10
5

∴異面直線D1E與AC所成角的余弦值為
10
5
.

(III)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥D1E于點(diǎn)G,連接AG,由AD⊥面D1DCC1,
∴AD⊥D2E
又∵DG⊥D1E,∴D1E⊥面ADG
∴D1E⊥AG,則∠AGD為二面角A-D1E-C的平面角
∵D1E•DG=DD1•CD,∴DG=
8
5
5
AG=
AD2+DG2
=
12
5
5

sin∠AGD=
5
3
,
二面角A-D1E-C的正弦值為
5
3
.
點(diǎn)評(píng):本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角,二面角及其度量,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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