Question

【題目】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，若二面角A1﹣BD﹣A的大小為 ，則BD1與面A1BD所成角的正弦值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=t，則D（0，0，0），A1（t，0，1），B（t，2，0），D1（0，0，1），
=（t，0，1）， =（t，2，0），
設(shè)平面DA1B的法向量 =（x，y，z），
則 ，取x=2，得 =（2，﹣t，﹣2t），
又平面ABD的法向量 =（0，0，1），二面角A1﹣BD﹣A的大小為 ，
∴|cos＜ ＞|= = =cos ，解得t=2 ，或t=﹣2 （舍），
∴B（2 ，2，0）， =（﹣2 ，﹣2，1）， =（2，﹣2 ，﹣4 ），
設(shè)BD1與面A1BD所成角為θ，
sinθ= = = ．
∴BD1與面A1BD所成角的正弦值為 ．
所以答案是： ．

【考點精析】利用異面直線及其所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．