Question

先解答（1），再通過類比解答（2）：
（1）①求證：tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

；②用反證法證明：函數(shù)f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）設(shè)x∈R，a為正常數(shù)，且f(x+a)=

1+f(x)

1-f(x)

，試問：f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）①證明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．
②假設(shè)T是函數(shù)f（x）=tanx的一個(gè)周期，且0＜T＜π，
則對(duì)任意x≠

π

2

+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而當(dāng)0＜T＜π時(shí)，tanT≠0恒成立或無意義，矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立．
（2）由（1）可類比出函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，它的最小正周期是4a．
證明：因?yàn)?span mathtag="math" >f(x+2a)=f(x+a+a)=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-

1

f(x+2a)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)．