Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA上的動點．
（1）求三棱錐C-PBD的體積；
（2）如果E是PA的中點，求證PC∥平面BDE；
（3）是否不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥平面BCD…（1分）
∴===
即三棱錐C-PBD的體積為．…（4分）
（2）證明：連接AC交BD于O，連接OE．…（5分）
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點．
又∵E是PA的中點，∴PC∥OE．…（6分）
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE …（7分）
∴PC∥平面BDE．…（8分）
（3）解：不論點E在何位置，都有BD⊥CE．…（9分）
證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（10分）
又∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…（11分）
∵不論點E在何位置，都有CE?平面PAC．
∴不論點E在何位置，都有BD⊥CE．…（12分）
分析：（1）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐C-PBD的體積；
（2）利用三角形中位線性質(zhì)證明線線平行，再證明線面平行即可；
（3）證明BD⊥平面PAC，利用不論點E在何位置，都有CE?平面PAC，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查線面平行，線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．