Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a為實數．
（Ⅰ）討論并求出f（x）的極值；
（Ⅱ）在a＜1時，是否存在m＞1，使得對任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，并說明理由；
（Ⅲ） 確定a的可能取值，使得存在n＞1，對任意的x∈（1，n），恒有|f（x）|＜（x﹣1）2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f'（x）= ﹣a，
當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，函數在定義域（0，+∞）遞增，沒有極值；
當a＞0時，令f'（x）=0，則x= ，
當x∈（0， ）時，f'（x）＞0，函數為增函數，
當x∈（ ，+∞）時，f'（x）＜0，函數為減函數，
故當x= 時，函數有極大值 ，沒有極小值．
（Ⅱ）在a＜1時，存在m＞1，使得對任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，理由如下：
當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，函數在（1，m）遞增，
此時f（x）＞f（1）=0，
當0＜a＜1時， ＞1，
當x∈（1，m）（1， ）時，f（x）＞f（1）=0，
綜上可得：在a＜1時，存在m＞1，使得對任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，
（Ⅲ）當a＞1時，由（I）知，對于任意x∈（1，+∞），|f（x）|=a（x﹣1）﹣lnx，
令M（x）=a（x﹣1）﹣lnx﹣（x﹣1）2 ， x∈（1，+∞），
則有M′（x）= ，
故當x∈（1， ）時，M′（x）＞0，M（x）
在[1， ）上單調遞增，
故M（x）＞M（1）=0，即|f（x）|＞（x﹣1）2 ，
∴滿足題意的t不存在．
當a＜1時，由（Ⅱ）知存在x0＞0，使得對任意的任意x∈（0，x0），|f（x）|=lnx﹣a（x﹣1），
令N（x）=lnx﹣a（x﹣1）﹣（x﹣1）2 ， x∈[1，+∞），則有N′（x）= ，
故當x∈（1， ）時，N′（x）＞0，M（x）在[1， ）上單調遞增，故N（x）＞N（1）=0，
即f（x）＞（x﹣1）2 ， 記x0與 中較小的為x1 ，
則當x∈（1，x1）時，恒有|f（x）|＞（x﹣1）2 ， 故滿足題意的t不存在．
當a=1，由（1）知，當x∈（0，+∞）時，|f（x）|=x﹣1﹣lnx，
令H（x）=x﹣1﹣lnx﹣（x﹣1）2 ， x∈[1，+∞），則有H′（x）= ，
當x＞1，H′（x）＜0，∴H（x）在[1，+∞）上單調遞減，故H（x）＜H（1）=0，
故當x＞1時，恒有|f（x）|＜（x﹣1）2 ， 此時，任意實數t滿足題意．
綜上，a=1
【解析】（Ⅰ）求導，當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，函數無極值，當a＞0時，當x= 時，函數有極大值 ，沒有極小值．（Ⅱ）結合（I）中函數的單調性，可證得：在a＜1時，存在m＞1，使得對任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0；（Ⅲ）分a＞1、a＜1和a=1把不等式|f（x）|＜（x﹣1）2的左邊去絕對值，即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．