Question

將（x+y+z）⁵展開合并同類項后共有

21

項，其中x³yz項的系數(shù)是

20

．

Answer 1

分析：將（x+y+z）⁵展開合并同類項后，每一項都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=5，其中，m是實數(shù)，a、b、c∈N．利用組合模型求解該問題，恰當(dāng)構(gòu)造分組模型，
利用組合法解決該問題．
把（x+y+z）⁵ 的展開式看成5個因式（x+y+z）的乘積形式．從中任意選3個因式，這3個因式都取x，另外的2個因式分別取y、z，相乘即得含x³yz項，由此求得含x³yz項的系數(shù)．

解答：解：將（x+y+z）⁵展開合并同類項后，每一項都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=5，其中，m是實數(shù)，a、b、c∈N，
構(gòu)造8個完全一樣的小球模型，分成3組，每組至少一個，共有分法

C

2 7

種，
每一組中都去掉一個小球的數(shù)目分別作為（x+y+z）⁵的展開式中每一項中x，y，z各字母的次數(shù)，
小球分組模型與各項的次數(shù)是一一對應(yīng)的．
故 將（x+y+z）⁵展開合并同類項后共有

C

2 7

=21項．
把（x+y+z）⁵ 的展開式看成5個因式（x+y+z）的乘積形式．
從中任意選3個因式，這3個因式都取x，另外的2個因式分別取y、z，相乘即得含x³yz項，故含x³yz項的系數(shù)為

C

3 5

=20，
故答案為 21；20．

點評：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的系數(shù)特征，考查構(gòu)造法解決該問題，關(guān)鍵要構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕M合模型，屬于中檔題．