Question

已知曲線C：y=（ax²+2x+3）e^x存在兩點處的切線互相平行，則a的取值范圍為（　�。�

• A、a＞1
• B、a＜

  1

  2

• C、a≤

  1

  2

  或a≥1
• D、a＞1或a＜

  1

  2

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，把曲線C：y=（ax²+2x+3）e^x存在兩點處的切線互相平行轉(zhuǎn)化為二階導(dǎo)數(shù)的最小值小于0，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由y=（ax²+2x+3）e^x，得：
y′=[ax²+2（a+1）x+5]e^x，
y^′′=[ax²+2（2a+1）x+2a+7]e^x，
∵曲線C：y=（ax²+2x+3）e^x存在兩點處的切線互相平行，
∴y^′′_min＜0，
∵e^x＞0，
∴ax²+2（2a+1）x+2a+7＜0，
①當(dāng)a≤0時不等式恒有解，
②當(dāng)a＞0時，判別式△=4（2a+1）²-4a（2a+7）＞0，
整理得：2a²-3a+1=（2a-1）（a-1）＞0，
解得a＜

1

2

，或a＞1，
∴a的取值范圍為：a＞1或a＜

1

2

．
故選：D．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．