【題目】橢圓 =1上有一點(diǎn)M(﹣4, )在拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l上,拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)N在拋物線上,過N作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為Q,求|MN|+|NQ|的最小值.

【答案】
(1)解:∵ =1上的點(diǎn)M在拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l上,拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn).

∴c=﹣4,p=8…①

∵M(jìn)(﹣4, )在橢圓上,∴ …②

又∵a2=b2+c2…③

∴由①②③解得:a=5、b=3,

∴橢圓為 ;

由p=8得拋物線為y2=16x


(2)解:設(shè)橢圓焦點(diǎn)為F(4,0),由橢圓定義得|NQ|=|NF|,

∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|= ,即為所求的最小值.


【解析】(1)由題意求得c=﹣4,得到p=8,再由點(diǎn)M(﹣4, )在橢圓上,結(jié)合隱含條件求得a,b的值,則橢圓方程和拋物線方程可求;(2)由題意畫出圖形,由拋物線定義把|MN|+|NQ|的最小值轉(zhuǎn)化為|MF|求解.

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