Question

已知函數f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1．
（1）求函數f（x）在（0，2）上的最小值；
（2）設g（x）=-x²+2mx-4，若對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數f（x）在（0，2）上的單調性，從而可得函數f（x）的極小值，即可求出最小值；
（2）由（1）知，f（x）_min=-

1

2

對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等價于-x²+2mx-4≤-

1

2

，x，∈[1，2]恒成立，利用分離參數法及基本不等式，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數，可得f′(x)=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

∵0＜x＜2，令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜1
∴函數f（x）在（0，2）上的單調遞增區(qū)間是（1，2），單調遞減區(qū)間是（0，1）
∴函數f（x）在x=1處，取得極小值，且為最小值f(1)=-

1

2

（2）由（1）知，f（x）_min=-

1

2

對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等價于-x²+2mx-4≤-

1

2

，x，∈[1，2]恒成立．
∴m≤

7

4x

+

x

2

，x，∈[1，2]恒成立．
∵

7

4x

+

x

2

≥2

7 4x × x 2

=

14

2

，當且僅當

7

4x

=

x

2

，即x=

14

2

時取等號
∴m≤

14

2

∴實數m的取值范圍為(-∞，

14

2

]

點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是利用導數確定函數的單調性與最值．