設(shè)a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，向量
m
=(
3
sinA，sinB)，
n
=(cosB，
3
cosA)，若
m
•
n
=1+cos(A+B)．
（1）求角C的大��；
（2）若a+b=4，c=2
3
，求△ABC的面積．
分析：（1）本題先有向量的數(shù)量積得到三角關(guān)系式，然后利用A+B+C=π，轉(zhuǎn)換為角C的關(guān)系式，求出角C；
（2）利用（1）的結(jié)論以及余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，代入C的值，根據(jù)已知條件a+b=4，c=2
3
，求出ab，選擇公式S =
1
2
absinC可得面積．
解答：解：（1）∵
m
•
n
=1+cos(A+B)以及
m
•
n
=(
3
sinA，sinB)• (cosB，
3
cosA)=
3
sin(A+B)
∴
3
sin(A+B)=1+cos(A+B)∴
3
sinC=1-cosC
∴2sin(C+
π
6
)=1∴sin(C+
π
6
)=
1
2

又∵
π
6
＜C+
π
6
＜
7π
6
∴C+
π
6
=
5π
6
∴C=
2π
3

（2）由已知，c=2
3
，a+b=4
∴c2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=（a+b）2-ab，
∴12=16-ab，∴ab=4
∴S△ABC=
1
2
absinC=
3
點評：本題考查了解三角形的知識，綜合考查向量及其數(shù)量及運算，對余弦定理、三角形的面積公式等內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題目，只要細心分體條件，能很容易解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中有如下結(jié)論：“若點M為△ABC的重心，則
MA
+
MB
+
MC
=
0
設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如a
MA
+b
MB
+
3
3
c
MC
=
0
，則內(nèi)角A的大小為
 
；若a=3，則△ABC的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，設(shè)a、b、c分別為角A、B、C的對邊，角A的平分線AD交BC邊于D，A=60°．
（1）求證：AD=
3
bc
b+c
；
（2）若
BD
=2
DC
，AD=4
3
，求其三邊a、b、c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）在△ABC中，設(shè)a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為△ABC的面積，且滿足條件4sinB•sin2（
π
4
+
B
2
）+cos2B=1+
3
．
（Ⅰ）求∠B的度數(shù)；
（Ⅱ）若a=4，S=5
3
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•洛陽二模）給出下列命題：
①設(shè)向量
e1
，
e2
滿足|
e1
|=2，|
e2
|=1，
e1
，
e2
的夾角為
π
3
．若向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是（-7，-
1
2
）；
②已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差為s2=
1
4
（x12+x22+x32+x42）-4，則x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均數(shù)為1
③設(shè)a，b，c分別為△ABC的角A，B，C的對邊，則方程x2+2ax+b2=o與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°；
④若f（n）表示n2+1（n∈N）的各位上的數(shù)字之和，如112+1=122，1+2+2=5，所以f（n）=5，記f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…fk+1（n）=f[fk（n）]，k∈N，則f20（5）=11．
上面命題中，假命題的序號是
②
②
 （寫出所有假命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•洛陽二模）給出下列命題：
①已知
i
，
j
為互相垂直的單位向量，
a
=
i
-2
j
，
b
=
i
+λ
j
，且
a
，
b
的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，
1
2
）；
②若某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關(guān)，則其回歸方程可能是
?
y
=10x+200；
③若x1，x2，x3，x4的方差為3，則3（x1-1），3（x2-1），3（x3-1）），3（x4-1）的方差為27；
④設(shè)a，b，C分別為△ABC的角A，B，C的對邊，則方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°．
上面命題中，假命題的序號是
①②
①②
（寫出所有假命題的序號）．

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同步練習(xí)冊答案