Question

3．某機(jī)械廠組裝A，B兩種類型機(jī)械，每組裝1臺A或B所需要的配件材料費(fèi)和工人數(shù)如下表所示．

類型 條件	A	B
配件材料費(fèi)（萬元）	20	5
工人數(shù)（人）	4	8

已知該機(jī)械廠現(xiàn)有工人32人，可用資金55萬元，組裝1臺A類型機(jī)械可獲純利潤4萬元，組裝1臺B類型機(jī)械可獲純利潤2萬元，設(shè)該機(jī)械廠計劃組裝A，B兩種類型機(jī)械分別為x臺，y臺．
（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問該機(jī)械廠分別組裝A，B兩種類型機(jī)械各多少臺，才能獲得最大利潤？并求出此最大純利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出約束條件，畫出可行域，求出目標(biāo)函數(shù)以及最優(yōu)解，然后求解即可．
（Ⅱ）列出目標(biāo)函數(shù)，利用可行域求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，然后求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由已知x，y滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，$\left\{\begin{array}{l}{20x+5y≤55}\\{4x+8y≤32}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4x+y≤11}\\{x+2y≤8}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；圖中陰影部分．

（Ⅱ）設(shè)純利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為：z=4x+2y，直線的斜率為-2，隨z變化的一系列直線，
求出直線的截距的最大值，即可得到z的最大值，
由圖象可知直線經(jīng)過M時取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{4x+y=11}\\{x+2y=8}\end{array}\right.$解得M（2，3）．
所以Z的最大值為：4×2+2×3=14．
所以，該機(jī)械廠分別組裝A，B兩種類型機(jī)械各2臺，3臺，才能獲得最大利潤14萬元．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．