Question

2．如圖所示，點(diǎn)P是圓O直徑AB延長線上的一點(diǎn)，PC切圓O于點(diǎn)C，直線PQ平分∠APC，分別交AC、BC于點(diǎn)M、N．求證：
（1）△CMN為等腰三角形；
（2）PB•CM=PC•BN．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，證明∠CNM=∠CMN，即可證明△CMN是等腰三角形；
（2）利用對應(yīng)角相等證明△PNB∽△PMC，即可證明PB•CM=PC•BN．

解答 解：（1）∵PC是圓O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠PCB=∠PAC；
又∵∠CPM=∠APM，
∴∠CNM=∠CPM+∠PCB=∠APM+∠PAM=∠CMN，
∴△CMN是等腰三角形；
（2）∵∠CMN=∠CNM，∠CNM=∠BNP，
∴∠CMN=∠BNP，
又∵∠CNP=∠BPN，
∴△PNB∽△PMC，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BN}{CM}$，
即PB•CM=PC•BN．

點(diǎn)評 本題考查了推理與證明的應(yīng)用問題，也考查了圓與三角形的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．