Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足 (且)， .

(1)求證： 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)求證： .

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ;(3) 見解析;

【解析】試題分析：(1)由可得，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得

(2)由題可轉(zhuǎn)化為，即，對(duì)任意恒成立，再看成關(guān)于m的一次函數(shù)，需，解得

的取值范圍為.

(3)由(1)知，利用當(dāng)時(shí)， ，對(duì)進(jìn)行放縮可得

.

試題解析：(1)解：由 (且)得 (且)

∵，∴，∴，(且)

∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.

∴.

∴， .

(2)要使對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

則須使，

即，對(duì)任意恒成立，

∴，解得或，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(3)證明：由(1)知，當(dāng)時(shí)， ，

∴，

所以.